O que é o Sistema Temperado

Prelúdio nº 1 do Cravo Bem Temperado




O que é o Sistema Temperado




Ir. Afonso Maria,
Oblato do Mosteiro da Santa Cruz



MÚSICA: DEFINIÇÃO E REFLEXÃO


Podem-se dar duas respostas básicas à questão sobre “o que é música”.
• “Música é a arte dos sons, que se divide fundamentalmente em três partes: melodia, harmonia e ritmo, ordenadas segundo as leis da estética”.
• “Como as demais artes, a música é um modo de representar o belo”.
Bastam porém tais definições para explicar satisfatoriamente o que é música? Se sim, a que corresponde então afirmar que algo está ordenado? Segundo as leis de que estética? Quem a criou? Podemos afirmar que o som das botas dos soldados de determinado pelotão correndo no mesmo ritmo constitui uma peça musical? Por outro lado, o que é o belo? Em que nos baseamos para dizer que tal música é mais bela que outra? Se pedirmos a 10 motoristas que soem a buzina de seus automóveis “ordenadamente” (ao mesmo tempo, sucessiva e/ou simultaneamente), poderemos dizer que é belo o som produzido, pelos acordes produzidos?
Pois bem, se nos parecem satisfatórias aquelas definições, por falarem em ordem, estética e beleza, o problema, todavia, reside na concepção que se tem hoje desses mesmos termos. Explique-se.
Escreve Nikolaus Harnoncourt, em O Discurso dos Sons, que “os valores que os homens dos séculos precedentes respeitavam não nos parecem hoje importantes. Eles consagravam todas as suas forças, todos os seus esforços e todo o seu amor a construir templos e catedrais, em vez de se dedicarem à máquina e ao conforto”. E junto com esta mudança veio justamente a degradação daqueles conceitos e da arte de maneira geral.
Para se ter uma ideia deste processo de corrupção, em 1971 o artista francês Marcel Duchamp chocou o mundo artístico assinando nada mais nada menos que um URINOL, e colocando-o em exposição como obra de arte. Mas o mais impressionante é que em 2004 quinhentos “especialistas de arte” consideraram A Fonte de Duchamp a mais influente das obras da arte moderna.
Duchamp exerceu grande influência sobre Tacey Emin, uma artista londrina. A Minha Cama, uma obra de Emin que foi indicada para o prestigioso Prêmio Turner, consistia numa cama por fazer, decorada com garrafas de vodca, preservativos usados e roupa íntima manchada de sangue. E, como se não bastasse o horror da obra em si, durante uma exposição na Tate Gallery , em 1999 , a cama foi vandalizada por dois homens nus, que se puseram aos saltos em cima dela a beber a vodca das garrafas. Este “espetáculo” extra não fazia parte da obra. Sendo o mundo da arte moderna, todavia, o que é, o público o aplaudiu entusiasmadamente. Atualmente, Emin é professora da European Graduate School.
Tudo isso é resultado, em suma, do triunfo do liberalismo com a revolução francesa. Ora, com o liberalismo e seus frutos mais imediatos, o subjetivismo e o relativismo, passa-se a negar a objetividade não só da verdade e do bem, mas também da beleza.
Sendo assim, para mostrar a beleza musical (que a que nos interessa aqui) é objetiva, e antes de tratar os sistemas de afinação que mais tiveram vigência na música, vejamos como a matemática contribuiu e contribui para aquela objetividade.


NÚMERO, MÚSICA E BELEZA

Que é proporção? É uma igualdade de duas razões: a/b = c/d, e portanto é um valor matemático, objetivo e universal. Não depende nem de nós. A igualdade, por exemplo, de 2/4 = 3/6 é verdadeira não porque a julgamos tal, mas porque tanto 1/2 como 3/6 são iguais a 0,5.
Pergunte-se, pois: é a beleza tão objetiva quanto qualquer proporção matemática? Ou melhor: o que é belo o é por alguma proporção matemática?
Os primeiros filósofos a tratar a relação entre número e beleza foram os pitagóricos. Eles puderam, por exemplo, determinar as relações matemáticas implicadas nas consonâncias mais importantes (o intervalo de quarta, o de quinta e a inversão deste, o intervalo de quarta) e elaboraram, pela primeira vez, um sistema de sons adequado ao uso musical.
Em De institutione musica” (I, 10), Boécio conta a antiga história de como Pitágoras descobriu a relação entre o número, música e beleza. Passando ele um dia perto de uma forja, notou que ao golpearem a bigorna os martelos produziam sons harmoniosos. Já lá dentro, após ter considerado outras coisas, pesou os diversos martelos e comprovou que tinham pesos tais, que era possível formar entre eles determinada proporção.
Como os respectivos pesos dos martelos eram de 12, 9 , 8 e 6, foi possível armar a proporção seguinte: 6/8 = 9/12
Ou seja, os martelos que pesavam 12 e 6 produziam, ao golpear, uma oitava. Os que pesavam 12 e 9, ou 8 e 6, produziam a quarta. Entre o que pesava 9 e o que pesava 8 dava-se um tom inteiro. E de fato, pela quantidade de vibrações duplas por segundo, as proporções entre os vários sons naturais são:


Dó 9/8 Ré 10/9 Mi 16/15 Fá 9/8 Sol 10/9 Lá 9/8 Si 16/15.


À oitava (Dó a Dó) corresponde o dobro de vibrações por segundo. Quinta é o correspondente ao intervalo de 3/2 (de Dó a Sol, 3/2). Quarta, ao intervalo de 4/3 (de Do a Fá). E assim sucessivamente
Ora, os sons mais agradáveis ao ouvido correspondem a proporções numéricas. Logo, tais proporções são em grande parte a causa mesma da beleza musical.


O SISTEMA PITAGÓRICO


Ao longo do tempo, propuseram-se mais de 100 sistemas de afinação. Desses sistemas, não mais de 20 terão sido usados mais amplamente. Na Idade Média, por exemplo, o sistema utilizado era o pitagórico.
Com efeito, mediante a manipulação das oitavas e baseando-se no intervalo de quinta, os gregos discriminaram a variação contínua das alturas sonoras, através da introdução sistemática de graus descontínuos. A simplicidade das razões 2/3 e 1/2, por estarem associadas a estes dois intervalos (quinta e oitava), permitiu que se constituísse uma escala heptatônica, isso é, de sete sons.
Para se ter uma ideia de como isso funcionava na prática, imaginemos a corda solta de um cânon. Consideremos que, ao tangermos a corda, o som obtido será o de Dó0. Se percorrermos nesta mesma corda uma distância na proporção de 2/3 do comprimento dela e voltarmos a tangê-la, obteremos o intervalo de uma quinta superior a Dó0, ou seja, Sol0. A 2/3 do comprimento de Sol0, corresponde o som Ré1, que é mais agudo que Dó1, pois, com relação ao comprimento inicial, Dó1 corresponde à metade do comprimento e Ré1 corresponde a 2/3 x 2/3 = 4/9 do comprimento. Sistematizando este processo, obteremos Lá1 Mi2 e Si2, cujos respectivos comprimentos correspondem, com relação ao comprimento da corda inicial, respectivamente a 4/9 x 2/3, 8/27 x 2/3 e 16/81 x 2/3. Preencher o intervalo entre Dó0 e Dó1 com estas novas notas corresponde a obter Ré0 LÁ0 Mi0 Si0 , o que se torna simples, pois, se queremos o som que está na oitava abaixo de dado som com comprimento X, esse som terá comprimento 2nx. Falta tão somente construir Fá0: se imaginarmos um som associado a um comprimento X tal que Dó1 se situe uma quinta acima desse som, então ½ = x 2/3, donde x = 3/4, comprimento correspondente a Fá0, que se encontra uma quinta acima de Dó0.
Os pitagóricos optaram pela escala heptatônica, julga-se, por ela estar em concordância com a estética da época. Se porém continuarmos com o ciclo de quintas a partir de Si2, multiplicando sucessivamente os comprimentos associados aos sons por 2/3, obteremos os outros cinco sons que correspondem às notas acidentadas: Fá#**3, Dó#4, Sol#4, Ré#5, Lá#5. Assim, o intervalo de oitava fica dividido em doze partes. O fato de serem doze notas se deve a que, após se aplicarem doze quintas a um som, o som obtido ficará a cerca de sete oitavas do som inicial, ou seja, entra-se num ciclo de período doze. Doze quintas, no entanto, não correspondem exatamente a sete oitavas. Com efeito, Lá#5 pode ser encarado como o som obtido de Dó0 por aplicação de dez quintas sucessivas. A quinta de Lá#5 é Fá6, e a quinta de Fá6 é Dó7, quer dizer, Dó7 está doze quintas acima de Dó0. Como o comprimento correspondente a Dó0 é 1, o comprimento de Dó7 será


porque corresponde a doze quintas de Dó0. Não obstante, como Dó7 se encontra sete oitavas acima de Dó0, sucede que o comprimento de Dó7 obtido dessa forma é



A defasagem entre estas duas notas é quantificada pela razão


que se chama coma pitagórico.
O coma pitagórico evidencia o fato de que as quintas, acusticamente perfeitas, do Sistema Pitagórico não pode ajustar-se com as oitavas: qualquer que seja o número de sucessivas quintas que se apliquem a um som inicial, o som resultante nunca poderá ser obtido por oitavas sucessivas.
Por conseguinte, a divisão da oitava em doze partes iguais nos remete à questão da incomensurabilidade, assunto que os gregos desde cedo observaram mas não conseguiram compreender. Tal fato, porém, faz ressaltar justamente que, em certo sentido, os limites da música são condicionados pelos limites da matemática.


O SISTEMA TEMPERADO OU TEMPERAMENTO


O Sistema Temperado é o sistema de afinação que possibilita dividir o intervalo de uma oitava em doze semitons iguais. Um dos primeiros a apontar para esta possibilidade foi o matemático Simon Steven, que, no século XVI, dividiu a oitava em doze partes iguais com uma aproximação bastante razoável. Este sistema, todavia, só foi devidamente fundamentado por Andreas Werkmeister, em 1691. É também por então que se começam a usar os logaritmos para determinar as notas musicais e o intervalo entre elas.
Diga-se que os intervalos de quinta e quarta do Sistema Temperado não são, em termos acústicos, perfeitos, como o são no Sistema Pitagórico; mas os novos intervalos correspondentes não diferem muito.
A real introdução do Temperamento se deu no início do século XVIII. Sim, porque foi exatamente para mostrar que a proposta de Werkmeister não só era viável, mas não comprometia de modo algum a qualidade e a beleza da música, que Johann Sebastian Bach compôs O Cravo Bem Temperado, um conjunto de peças que cobrem as doze tonalidades, no modo maior e no modo menor.
Descrevamos o Sistema Temperado. Sabemos, por teoria musical, que o intervalo de tom se divide em 9 comas. Chama-se “coma” (< lat. coma,ae < gr. kómē,ēs) à nona parte de um tom. E, com efeito, a discussão sobre a possibilidade do Sistema Temperado se dará entre músicos e físicos em busca da melhor solução para igualar justamente essas nove pequenas partes que separam ou dividem um tom. A proposta era igualar os semitons em partes perfeitamente iguais, com o que vemos, mais uma vez, a matemática implicada na música.
Sabemos também, e ainda por teoria musical, que há uma distância entre um tom e outro: o semitom. O semitom é o menor intervalo entre dois tons que se pode perceber auditivamente. Por exemplo: entre a nota Dó e a nota Ré encontramos a nota Dó# ou Ré b (isso se se leva em consideração exatamente o Sistema Temperado.)
A questão está justamente na distância entre, ainda por exemplo, quantos comas havia entre nota Dó e a nota Dó# e posteriormente entre a nota Dó# e a nota Ré. Já sabemos que a distância de um tom possui 9 comas. Vejamos como físicos e os músicos viam a divisão entre eles.
Segundo os físicos:


Dó Dó# Ré
[4 comas] [5 comas]


Segundo os músicos:


Dó Dó# Ré
[5 comas] [4 comas]


A divisão proposta pelos músicos era mais coerente (até porque, como é óbvio, eles tinham uma audição mais apurada...). Se porém não se resolve esta questão, o impasse continua. Como igualar os semitons em partes perfeitamente iguais se, tanto segundo a proposta dos músicos como segundo a dos físicos, ambos apresentam a diferença de uma coma?
Ora, se temos a distância de 5 comas entre a nota Dó e a nota Dó# e a de 4 comas entre a nota Dó# e a nota Ré (segundo a proposta dos músicos) ou vice-versa (segundo a proposta dos físicos), em ambas teremos Dó# ≠ de Ré b, como acontece nos sistemas naturais.
Sendo assim, a saída encontrada foi simplesmente dividir em partes iguais os nove comas, ficando então cada semitom com 4 ½ comas. Resultado:


Dó Dó# Ré
[4 ½ comas] [4 ½ comas]


Ao olharmos para as teclas de um piano, temos uma ideia do que possibilitou este sistema. Vemos a nota Dó e a nota Ré representadas por teclas claras e, entre elas, uma única tecla preta, que com o Sistema Temperado serve tanto para a nota Dó# como para a nota Ré b.[1]
Como exemplo de instrumentos temperados ou de som fixo, podem-se citar o próprio piano, o órgão, o harmônio e a harpa.


CONCLUSÃO

Alguns autores afirmam que, com o Sistema Temperado, houve um grande prejuízo da afinação em detrimento da harmonia. De fato, os sistemas naturais (como o de Pitágoras e o de Zarlino) se fundamentam em cálculos acústicos e definem com precisão tanto o número de vibrações para cada nota como as relações entre elas.
Em outras palavras, os Sistemas Naturais seriam, por um lado, mais afinados, mas, por outro lado, mais complexos, enquanto o Sistema Temperado seria, entre outras qualidades, mais prático.
Deixemos, porém, o aprofundamento desta questão para outra oportunidade, e apresentemos brevemente outra, que desde há muito vem tirando o sono de maestros e musicólogos. Trata-se do tão discutido problema de como executar a música dita antiga, com instrumentos de época (também chamados instrumentos naturais) ou com instrumentos modernos. Para o já citado Nicolaus Harnoncourt, não é possível usar uma orquestra de Richard Strauss para tocar Bach, assim como tampouco é possível usar uma orquestra de Bach para tocar Richard Strauss. Mas o grande problema, parece-me, não está na orquestra ou instrumentos com que se tocará este ou aquele compositor, mas na interpretação que se dará a ele. Esta, contudo, é uma questão que também deixo para um artigo futuro.[2]
Sim, porque o objetivo deste pequeno artigo já foi alcançado: mostrar que a beleza musical, como toda e qualquer beleza, é objetiva, e fundada, por sua parte, na própria matemática. É com esta perspectiva que devemos entender as duas definições de música dadas mais acima.
E o que é artística e efetivamente belo nos remete ao que é não só o próprio Verdadeiro e o próprio Bem, mas a própria Beleza: Deus mesmo. Olhem-se as catedrais góticas e a arquitetura Barroca e suas imagens, ouçam-se as polifonias de Palestrina e de Victoria e a música única de Bruckner, e se terá, de certo modo, uma imago Dei.

[1] Em teoria musical chama-se a este fato enarmonia.

[2] E quem sabe o Nougué não nos brinda com uma questão disputada sobre o tema?...

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