La monarquía hispánica en aquellos tiempos no tenía una sola bandera de diseño consistente, es decir, que tenían varios diseños. Sin embargo, el pabellón naval y la bandera de los ejércitos españoles portaban todos en común el escudo de armas de la monarquía hispánica sobrepuesto en una cruz de San Andrés roja con ramas cortadas. En la etapa de la llamada unión ibérica, el aguila de los Habsburgos o de los Austrias era común.
La descripción que da el señor la desconozco, y, como dice él, es una anectoda que le dieron, que probablemente dicha bandera no existe. Puede que haya sido un estandarte militar en el que dicha aguila austriaca probablemente llevaba o no un escudo, pero eso es una teoría mia.
*Interpretación propia, elementos heráldicos de wikimedia commons.
Lo más parecido que he podido encontrar que esté documentado como bandera utilizado por galeones de España y Portugal con un aguila es este pabellón naval que, según las descripciones en internet, se utilizó para los buques rumbo España América- America España:
Galleons' Ensign c.1520-c.1701 (Spain)
*Interpretación propia, elementos heráldicos de wikimedia commons.
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