Los epiciclos y los movimientos de los planetas

**Martin Ant** · 05/10/2014

Los epiciclos y los movimientos de los planetas

Una de las mayores ironías que refleja la cosmología moderna es precisamente la de no haber prescindido de los epiciclos para dar cuenta del movimiento de los planetas que observamos en la bóveda celeste.

Es importante, antes de nada, tener en cuenta un asunto muy importante. Desde la antigüedad griega, cuando se empezaron a formular los primeros modelos geométrico-matemáticos para dar cuenta de estos movimientos planetarios siempre se tuvo en cuenta el carácter meramente hipótetico de los mismos sin afirmar categóricamente la veracidad de ninguno de esos modelos geométricos.

Hoy en día, debido a la falta de comprensión del funcionamiento de los modelos con epiciclos y deferentes usados en las épocas antigua, medieval y principios de la moderna, generalmente se suele denigrar al adversario en los debates científicos motejándole de “introductor de epiciclos” o cosas por el estilo (por ejemplo suele utilizarse cuando se intenta ajustar una teoría para hacer que sus predicciones casen con los hechos observados). El problema de esta errónea concepción acerca de los epiciclos parte del hecho de considerarlo como una explicación del movimiento de un cuerpo en lugar de lo que realmente es: meramente una simple descripción de un hecho observado. Toomer lo explica bien: “Mientras que nosotros usamos la palabra “hipótesis” para denotar una teoría que debe ser verificada todavía, Ptolomeo quería significar con la palabra ύπόθεσις más bien algo así como “modelo”, “sistema de explicación”, a menudo refiriéndose a la “hipótesis que hemos demostrado”” (Toomer, G.J. (1998). Ptolemy's Almagest. Princeton University Press. p. 23).

Esta filosofía de “salvar los fenómenos” es la que adoptaron Platón y Aristóteles y que legaron a sus discípulos. A su vez fue la que se siguió durante la época de la Cristiandad. Como señala Mariano Artigas: “De acuerdo con la lógica, un enunciado universal (que se refiere a todos los casos posibles del tema que afirma) no queda establecido porque se comprueben algunas de sus consecuencias, puesto que esas consecuencias pueden derivarse también a partir de premisas diferentes. Así, una teoría nunca quedará establecida con certeza de modo definitivo. En cambio, basta que una sola de sus consecuencias sea falsa para poder afirmar que la teoría es falsa, al menos en alguno de sus supuestos. Esta peculiaridad lógica era ya bien conocida en la época medieval, y existía una larga tradición según la cual las hipótesis astronómicas eran simplemente eso, hipótesis que permitían “salvar los fenómenos” [σώζειν τα φαινόμενα] observables con más o menos acierto, sin que un mayor acierto permitiera calificarlas como verdades ciertas.” (“Ciencia, razón y fe” (pag. 34)).

Así, por ejemplo, Santo Tomás de Aquino señalaba lo siguiente: “La razón interviene de dos maneras para explicar algo. 1) Una, para demostrar suficientemente algún fundamento (…) 2) Otra, no para demostrar suficientemente algún fundamento, sino para confirmar un principio ya establecido mediante la congruencia con él de los resultados que se observan; como, por ejemplo, en astronomía, establecidos las excéntricas y los epiciclos, son explicables por ellos las manifestaciones del movimiento en el firmamento. Sin embargo, estas suposiciones no son pruebas demostrativas, ya que, establecida otra hipótesis, pueden darse otras explicaciones” (Suma Teológica, I q.32 a.1 ad.2).

De esta forma, en el sistema ptolemaico, los epiciclos no eran más que un modelo geométrico para dar cuenta de las variaciones en la dirección y en la velocidad de los movimientos observables de la Luna, el Sol y los planetas. Fueron formalmente establecidos por Ptolomeo de Tebaida en su tratado Almagesto en el siglo II d.C., en el que trataba de dar explicación al movimiento retrógrado de los planetas y a la aparente distancia de los mismos respecto a la Tierra (a modo de anécdota decir que también eran utilizados en el famoso mecanismo conocido como Antikithera).

El movimiento aparente de los cuerpos celestes con respecto al tiempo es cíclico en la naturaleza. Apolonio de Pérgamo (a finales del siglo III a.C.) decía que esa variación cíclica podía representarse visualmente mediante círculos, o epiciclos, que a su vez se movían formando círculos más grandes, o deferentes. Hiparco de Rodas calculó las órbitas que se necesitaban (nunca se insistirá lo suficiente en que los epiciclos y deferentes no representan lo que hoy en día conocemos como órbitas, sino que sólo eran herramientas geométricas auxiliares para explicar el movimiento aparente del astro).

En el modelo ptolemaico se asume que los planetas giran en círculos denominados epiciclos, los cuales a su vez se mueven a lo largo de otro círculo denominado deferente. Ambos círculos rotan en sentido antihorario y son aproximadamente paralelos al plano del Sol o eclíptica. Así, las órbitas de los planetas son epicotroides (que es el trayecto que traza un punto que está unido a un círculo que gira alrededor de otro círculo mayor fijo por su parte externa, donde el punto es una distancia respecto al círculo exterior).

Ptolomeo no calculó el tamaño relativo de las deferentes planetarias sino que todos sus cálculos los hizo en torno a una deferente normalizada, lo cual no quiere decir que considerara a los planetas equidistantes unos de otros. Más tarde establecería sus distancias en el libro Hipótesis Planetaria. Ya vimos en su momento que estas distancias eran incorrectas, pero fueron convenientemente modificadas por Tycho Brahe para dar cuenta de las fases de Venus observadas con el telescopio.

Para los planetas superiores, éstos se moverían más despacio que el fondo estelar (esto es, cada noche el planeta se retrasaría un poco con respecto a las estrellas, es decir aparecería un poco más a la izquierda de la misma estrella de la noche anterior). Esto es el movimiento directo o progrado del planeta. Eventualmente estos mismo planetas, cuando estuvieran en oposición, parecería que fueran más rápidos que el fondo estelar. Este es el movimiento retrógrado.

A su vez, los planetas inferiores serían observados siempre cerca del Sol, apareciendo poco tiempo antes de la puesta de Sol y de la salida del Sol. Para ello, Ptolomeo acomodó el movimiento de Mercurio y Venus de manera que la línea del punto ecuante al centro del epiciclo fuera siempre paralela a la línea Tierra-Sol (hay que señalar que Ptolomeo modificó el sistema de epiciclos-deferentes introduciendo el ecuante, que es un mecanismo que daba cuenta de las variaciones de velocidad en los movimientos de los planetas).

De esta forma, Ptolomeo elaboró un modelo para predecir los movimientos de los cuerpos celestes elaborando funciones geométrico-matemáticas que reflejaran los cambios en la posición observados en los cuerpos celestes respecto al fondo estelar (posiciones que eran previamente catalogadas para realizar posteriormente el modelo geométrico). Este modelo (que como decimos era meramente empírico no explicativo) resultó ser tan extraordiariamente exacto en sus predicciones de la posición de los cuerpos celestes que aún estaba generalizado en su uso en el siglo XVI.

Así, en la conjunción planetaria de 1504, Copérnico señalaba en notas adjuntas a su copia de las Tablas Alfonsinas que: “Marte se adelanta a las cifras en más de dos grados. Saturno es sobrepasado por las cifras en un grado y medio”. Owen Gingerich hace notar, usando modernos programas de ordenador que, en el momento de la conjunción, Saturno, en efecto, se retrasaba un grado y medio respecto a las cifras señaladas por las Tablas y que la posición de Marte difería de las predicciones en cerca de dos grados. Además encontró que las predicciones ptolemaicas para Júpiter para ese momento eran exactas. De esta forma, los contemporáneos de Copérnico podían seguir utilizando perfectamente el método ptolemaico para dar cuenta de las predicciones de la posición de los cuerpos celestes 1500 años después de que Ptolomeo publicara su modelo matemático.

Cuando Copérnico estableció su modelo, se encontró con varios problemas: su modelo no daba cuenta del movimiento retrógrado de los planetas exteriores al pasar a unas coordenadas heliocéntricas (lo que le obligó a poner más epiciclos), así como la necesidad de introducir epiciclos más pequeños que los de Ptolomeo o “epicicletas”, para dar cuenta del movimiento de la Tierra en su transformación de coordenas (hay que recordar que Copérnico seguía utilizando los mecanismos de epiciclos-deferentes).

Ciertamente Copérnico redujo el tamaño de sus epiciclos con respecto al de Ptolomeo, pero eso no quiere decir que su mecanismo fuera más simple. Copérnico eliminó el ecuante ptolemaico, pero a costa de aumentar el número de epiciclos. Los libros del siglo XVI que se basaban en el modelo ptolemaico y copernicano registran casi el mismo número de epiciclos. Copérnico exageraba en sus obras el número de epiciclos usados en el modelo de Ptolomeo, aunque éste último sólo requería de 40 en la época en que se empezaba a volver a proponer el heliocentrismo.

Para los que defendían el geocentrismo, el modelo ptolemaico fue sustituido por el modelo ticónico. A su vez el modelo copernicano fue sustituido por el kepleriano-newtoniano.

Kepler eliminó el mecanismo de los epiciclos-deferentes del modelo copernicano y lo sustituyó por simples elipses (pretendiendo con ellas dar cuenta de las distintas posiciones de los planetas), basándose en los datos que fueron recogidos por Tycho Brahe durante toda su vida y que él quería utilizarlos para mejorar su modelo ticónico frente al copernicano. A su vez Kepler pretendía establecer una descripción del diferente movimiento de los planetas alrededor del Sol en su segunda Ley.

Posteriormente Newton elaboró su ley de la gravitación universal, con la cual pretendía dar explicación más precisa a las leyes keplerianas antes mencionadas respecto a la posición y movimiento de los planetas. De esta forma considerando al Sol y los planetas como puntos de masa, se establecerían las correspondientes ecuaciones del movimiento que permitirían predecir la posición y velocidad orbitales de los planetas. Cuando se trata de problemas de dos cuerpos la solución se puede calcular fácilmente. El problema surge cuando se trata de un sistema de n-cuerpos, en los que resulta completamente imposible calcular la predicción de la posición y velocidad del cuerpo en cuestión con las ecuaciones newtonianas.

Bueno. Ésta es más o menos la historia oficial de los hechos. Ahora pasemos a lo que verdaderamente interesa: eliminar de una vez los mitos que han estado circulando en torno al modelo ptolemaico y sus epiciclos.

En primer lugar, respecto al hecho de que supuestamente se observaran pequeñas imperfecciones en el modelo original como consecuencia de las observaciones acumuladas con el tiempo, y de que fueron necesarios añadir más epiciclos al modelo original ptolemaico para dar cuenta de esas supuestas imperfecciones respecto a los movimientos observados de los planetas, hay que señalar la falsedad de esas afirmaciones. Los historiadores que han observado los libros de astronomía ptolemaica de la Edad Media y el Renacimiento no han encontrado pista ninguna acerca de esa supuesta multiplicación de epiciclos para dar cuenta del movimiento de los planetas (por ejemplo, se pone de relieve el hecho de que las Tablas Alfonsinas fueron aparentemente computadas usando el modelo original ptolemaico, sin añadiduras de ningún epiciclo más).

Además el propio modelo ptolemaico desaconsejaba la realización de “ajustes” en el mismo. En un modelo de epiciclos-deferentes las partes están todas interrelacionadas las unas con las otras. Hacer un ajuste para mejorar una parte supondría empeorar otra dentro del modelo. Ciertamente el modelo ptolemaico tenía pequeñas deficiencias, pero el conjunto global era extraordinariamente óptimo para predecir la posición de los cuerpos en la bóveda celeste.

Ahora vamos a lo interesante. ¿Realmente la astronomía actual ha prescindido de los epiciclos para predecir las velocidades y posiciones de los planetas (y, en general, de cualquier cuerpo celeste)? ¿Kepler y Newton nos liberaron realmente de los epiciclos para dar cuenta de la posición y velocidad de los planetas en el cielo por medio de sus leyes de las elipses, de las diferencias de velocidad en el perihelio y afelio y de la gravitación universal?

La respuesta es NO. Y de nuevo volvemos a nuestras reflexiones del comienzo: toda la cuestión gira en torno a un asunto formalmente matemático. Nada más. Todo el contenido de lo que antaño se llamaban epiciclos se sigue utilizando hoy en día para dar cuenta de los movimientos de los planetas; lo que pasa es que se utiliza otro nombre más técnico o que puede asustar a los legos, pero que en la práctica es exactamente lo mismo: el análisis de Fourier, y su modelo matemático compuesto de términos en series infinitesimales.

Algunos de los términos de la astronomía moderna hacen precisamente referencia a esas desviaciones en la posición-velocidad de los planetas que se observan respecto al modelo simple kepleriano-newtoniano y que se pueden considerar como ajustes o modernos “epiciclos”. Por ejemplo: anomalía, ecuación de tiempo, movimiento medio, excentricidad, apogeo, perigeo, etc… son términos que se utilizan para dar cuenta de esas pequeñas desviaciones en el movimiento.

Como digo, no se trata más que de un mero formalismo matemático sin que ello suponga defender que la Tierra se mueve o no se mueve, pues en ambos casos los cálculos tendrían que ser los mismos: no importa si se hace con epiciclos o con las ecuaciones de Fourier (que, como digo, son dos formas de expresar un mismo modelo geométrico-matemático), pues los resultados serán idénticos.

De acuerdo con el historiador de la ciencia Norwood Russell Hanson: “No existe ninguna curva bilateralmente simétrica ni excéntricamente periódica usada en cualquier rama de la astrofísica u astronomía observacional que no pueda ser suavemente trazada a partir del movimiento resultante de un punto girando dentro de una constelación de epiciclos, finitos en número, girando a su vez alrededor de un deferente fijo.” (Norwood Russell Hanson. The Mathematical Power of Epyciclical Astronomy).

Cualquier trayectoria (periódica o no, cerrada o abierta) podría ser representada con un número infinito de epiciclos. Esta es la razón por la que los epiciclos pueden ser representados a partir de series de Fourier de números complejos. De manera que, con un gran número de epiciclos, pueden ser representadas trayectorias complicadas en el lado de los números complejos de un plano cartesiano.

Tomemos el número complejo: z₀= a₀e^ik⁰^t,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ______
donde a y k son constantes, i = √ – 1 es un número imaginario y t es el tiempo, que corresponde a un deferente centrado en el origen del plano complejo y girando con radio a y una velocidad angular de

. .............2π
k = ----- ,
. ...............T

donde T es el periodo.

Si z₁ es la trayectoria de un epiciclo, entonces el deferente más el epiciclo está representada por la suma

z₂ = z₀ + z₁ = a₀e^ik⁰^t + a₁e^ik¹^t

Generalizando a N epiciclos tenemos:

. ..........N
z_N= Σ a_je^ik^j^t ,
. ........j = 0

que es una serie de Fourier de números complejos.

Encontrando los coeficientes a_j para representar una trayectoria dependiente del tiempo en el plano complejo,
z = f (t) , es el objetivo de reproducir una órbita con deferente y epiciclos, y es ésta la forma para “salvar el fenómeno", tal y como se realiza hoy en día en los cálculos del movimiento de los planetas (y demás cuerpos celestes).

Parte de la información está tomada de Wikipedia. Deferent and epicycles.

**Valmadian** · 05/10/2014

No tengo una idea precisa acerca de cuál pueda ser la utilidad del sostenimiento de un modelo matemático que contiene errores. Considero necesario dar una explicación mucho más sencilla de lo que son los conceptos que se manejan en el hilo:

1.- EPICICLO

"En el sistema ptolemaico del movimiento planetario, pequeño círculo hipotético que se movía alrededor de la circunferencia de un círculo mayor, el DEFERENTE. Las combinaciones de epiciclos podían utilizarse para reproducir los movimientos observados de los planetas, sin abandonar el "dogma" griego de que sólo los movimientos circulares estaban permitidos en los cielos."

Problema: los movimientos orbitales planetarios son elípticos.

MOVIMIENTO RETRÓGRADO.

Movimiento de un cuerpo como un planeta de Este a Oeste en la esfera celeste, o el movimiento de un cuerpo en su órbita en el sentido de las agujas del reloj visto encima del Polo Norte del Sol, o la rotación de un cuerpo sobre su eje en el sentido de las agujas del reloj visto desde encima del Polo Norte del Sol. El movimiento en la dirección opuesta se denomina movimiento directo o PROGRADO. Los objetos con movimiento retrógrado tienen una inclinación orbital o axial mayor que 90º. Los planetas exteriores parecen moverse en dirección retrógrada temporalmente cuando la Tierra los alcanza y los adelanta; se dice que describen un bucle retrógrado.

FUENTE: Diccionarios Oxford-Complutense: ASTRONOMÍA. Ian Ridpath Edit. COMPLUTENSE, Madrid 1999

Pero en forma mucho más profunda y exhaustiva a continuación pongo un enlace a un pdf que viene a refutar la hipótesis ptolemaica.

http://www.file:///C:/Users/Jose%20J...eP-3991412.pdf

No sé la razón por la que no se carga, pero su dirección completa es:

file:///C:/Users/Jose%Javier/Downloads/Dialnet-LaRefutabilidadDelSistemaDeEpiciclosYDeferentesDeP-3991412.pdf

**Valmadian** · 05/10/2014

Por cierto, es perfectamente posible ver diferentes tipos de epiciclos y deferentes si en Google ponemos en búsqueda imágenes de epiciclos o imágenes de epiciclos y deferentes, indistintamente. Se muestra hasta como se puede formar con ellos la cara de un tal Hommer de cierta repelente serie de dibujos esperpénticos. Y comento todo esto debido a la inexistencia de "mitos" sobre las órbitas de los planetas y otros cuerpos del Sistema Solar. Y es que, en efecto, si se trata de elaborar tales epiciclos se superan ampliamente los 34 habituales, que en el texto se van a 40, para llegar un punto en el que resulta imposible elaborar más para explicar todas las órbitas. Este motivo, junto con el error de la circularidad de tales órbitas, es lo que llevó a la conclusión de que su hipótesis no era viable.

**Martin Ant** · 06/10/2014

No tengo una idea precisa acerca de cuál pueda ser la utilidad del sostenimiento de un modelo matemático que contiene errores.

Pues precisamente la de servir de mera herramienta para dar cuenta de los fenómenos observados en el comportamiento de los cuerpos celestes. Insisto de nuevo en la filosofía de "salvar las apariencias" que subyacía al modelo matemático-geométrico ptolemaico: Ptolomeo nunca dijo ni trató de dar a entender que las pautas geométricas que él adjuntaba a los cuerpos celestes fueran reales; lo único que pretendía Ptolomeo con dichas pautas matemáticas era establecer un instrumento útil para el cálculo en la predicción de la posición de los cuerpos celestes, NADA MÁS.

De esta forma, en un sentido puramente instrumental matemático-geométrico, no se puede hablar propiamente de modelo erróneo, en tanto en cuanto sirva para la utilitaria realización correcta de las predicciones, y ciertamente el modelo matemático-geométrico de Ptolomeo cumplía con esta misión a la perfección. Si tuviéramos que aplicar este criterio para la catalogación de un modelo como erróneo o acertado, con muchísima más razón habría que definir como erróneo al modelo de Copérnico, pues empeoraba, en lugar de mejorar, las predicciones que emanaban del de Ptolomeo.

Pero en forma mucho más profunda y exhaustiva a continuación pongo un enlace a un pdf que viene a refutar la hipótesis ptolemaica.

http://www.file:///C:/Users/Jose%20J...eP-3991412.pdf

Muy interesante este ensayo de Christián Carman. Gracias por traerlo. Aunque utilizando un lenguaje propio de las filosofías analítica y estructuralista, sin embargo se puede colegir que las ideas fundamentales expresadas en el ensayo son las mismas que yo he sostenido en mi primer mensaje, a saber: 1) El cáracter esencial y simplemente matemático del modelo Ptolemaico para la determinación exacta de la posición de los cuerpos celestes; 2) Su equivalencia con el análisis de Fourier, en lo que se refiere al cálculo exacto de las posiciones de los cuerpos en la bóveda celeste.

Se puede acceder a este trabajo pinchando aquí.

Aunque podría ir citando de todo el ensayo, me quedo con esta parte de la Conclusión final:

[INICIO DE LA CITA] "Curiosamente, todas estas restricciones no hacen más que expresar desde un sistema de referencia geocéntrico propiedades que tienen los planetas por pertenecer a un sistema heliocéntrico. Por lo tanto, podría decirse que la teoría de Ptolomeo, considerada sólo matemáticamente, sólo es refutable en la medida en que refleja propiedades heliocéntricas. No por hacerlo, pero de hecho es así. Por lo que las mismas restricciones que la vuelven refutable hacen que su sistema no pueda de hecho ser refutado porque son leyes “verdaderas”. Si aquí terminara el análisis, se vería por qué el ataque al sistema planetario de Ptolomeo por parte de los heliocentristas, no podía provenir de un intento de refutación de su teoría planetaria en sí, puesto que eran empíricamente equivalentes.23 Y aumentaría la plausibilidad de la hipótesis histórica que afirma que fue atacada principalmente a causa de su matrimonio indisoluble con la cosmología aristotélica. Pero, como hemos mostrado, existe una restricción relacionada con el cálculo de la distancia de los planetas que expresa una propiedad, en cambio, que le pertenece al sistema geocéntrico en cuanto tal siempre que sea interpretado físicamente, es decir, que se acepte que los epiciclos y deferentes son esferas reales. Sin embargo, es una restricción empírica que sólo restringe a los modelos potenciales de planetas interiores. Desde una posición heliocéntrica —antes de la utilización del telescopio que aportaría nuevas complicaciones— debería haber sido éste el dato atacado por Copérnico, pues era el único que realmente lo diferenciaba de un sistema heliocéntrico. Sin embargo, curiosamente, Copérnico no sólo no criticó el resultado del cálculo de la distancia de la Tierra al Sol de Ptolomeo sino que, incluso, modificó sus propios valores con el fin de ajustarlo al valor obtenido por Ptolomeo, como prueba J. Henderson (1973) mostrando las tachaduras y correcciones de los distintos borradores del De Revolutionibus." [FIN DE LA CITA]

A esto último que señala Carman de que existía en el modelo Ptolemaico una diferencia que lo hacía refutable en lo que se refiere a los planetas interiores, a consecuencia de un cálculo equivocado en la distancia entre Tierra y Sol, sería preciso recordarle que ya quedó corregida por Tycho Brahe al establecer los ajustes necesarios en su modelo ptolemaico, realizado en base a un cálculo correcto de la distancia Tierra-Sol (o utilizando lenguaje técnico: situando el centro de la deferente de los planetas a la distancia correcta de 1 U.A. con respecto a la Tierra). Ptolomeo trabajaba con proporciones y no pudo, en su tiempo, calcular la distancia absoluta entre la Tierra y el Sol. Pero una vez realizada en tiempos de Tycho Brahe, éste pudo establecer los ajustes correspondientes sin ningún problema.

Pienso que al señalar esa "prueba" de refutabilidad Carman peca un poco de deshonesto, pues un dato empírico puede ser encajado perfectamente dentro de un modelo matemático-geométrico haciendo el ajuste correspondiente que dé cuenta de dicho dato empírico (si atendemos a la teoría de la empiricidad irrestricta que denota en todo su ensayo). Creo que la clave de esta afirmación de "refutabilidad" radica en la condición primera de "la aceptación de los epiciclos y deferentes como esferas reales". Pero como ya hemos dicho que eso era algo completamente ajeno a la naturaleza propia del modelo puramente matemático-geométrico de Ptolomeo, entonces nada impedía introducir los ajustes necesarios para dar cuenta de la verdadera distancia Tierra-Sol y, por ende, de las correctas distancias de los planetas interiores (cosa que, efectivamente, fue realizada por Tycho Brahe).

Problema: los movimientos orbitales planetarios son elípticos.

Los movimientos orbitales planetarios no son exactamente elípticos, sino que la consideración de una pauta geométrica de carácter elíptico, en teoría, permitía dar cuenta de la posición de los cuerpos celestes en la bóveda en cada momento. Y recalco lo de, en teoría, porque precisamente son necesarios los ajustes del análisis de Fourier para dar cuenta de las desviaciones existentes entre los cálculos teóricos de una órbita elíptica simple, con respecto a los resultados empíricos observados en la bóveda.

Lo que yo decía en mi artículo del primer mensaje es que hoy en día se cree en el mito (porque no se puede calificar sino como mito) de la afirmación de que las elipses sustituyeron finalmente al "abigarrado" y "complicado" sistema de epiciclos y deferentes anterior a la introducción de las elipses, CUANDO ESO NO ES CIERTO: en la computación para el cálculo de la predicción de las posiciones reales que van a tener los cuerpos celestes en la bóveda no bastan las simples elipses, sino que deben aplicarse correcciones y ajustes que den cuenta de las variaciones existentes entre el cálculo teórico puramente elíptico y la realidad posicional empírica de los cuerpos en la bóveda celeste. Estos ajustes y correcciones se realizan con el cálculo analítico de Fourier en sucesiones infinitesimales...; el problema es que esto, a efectos prácticos, no son, en realidad, más que epiciclos y deferentes, sólo que "disfrazados" con un lenguaje matemático. Pero en la práctica sigue siendo lo mismo.

Y esto es así independientemente de que las elipses sean utilizadas en un sistema geocéntrico o heliocéntrico, pues en ambos casos existe equivalencia. Por ejemplo, en el sistema geocéntrico de Giovanni Riccioli, presentado en su obra Novum Almagestum de 1651, éste utiliza el modelo corregido de Tycho Brahe, añadiéndole también las elipses para los planetas.

**Valmadian** · 10/10/2014

Déjese de filosofías que de ellas junto con los juegos matemáticos salen todos los años modelos elegantes en Cosmología. Hipótesis que no se cumple ninguna en cuanto que no se basan en experiencias ni directas ni posibles. La que más de moda está recientemente es la "platónica" que especula acerca de si el Universo es una especie de holograma de otro Universo. La verdad es que se lo pasan de miedo y reconozco que yo también leyéndolos, pues como argumentos son muchísimo más interesantes que la mejor novela de ciencia-ficción.

Pero vayamos si siquiera por un momento a la realidad física, sin filosofías, y pongamos los pies en el suelo. Las órbitas planetarias son elípticas aunque usted se empeñe en decir que no. Y sin entrar en detalles experienciales técnico-matemáticos, al menos por ahora, todo el mundo sabe que la órbita de Plutón se cruza con la de Neptuno. ¿Por qué? porque es elíptica, y tiene una inclinación con respecto a la eclíptica de 17'1º, con una excentricidad de 0'25 (1 = a órbita totalmente circular), distanciándose del Sol 7375 millones de km en el afelio y 4425 millones en el perihelio, mientras, a su vez, su eje de rotación tiene una inclinación de 123º respecto a la vertical por lo que su rotación es retrógrada.

Y esto es sólo un ejemplo. La realidad no está en los cálculos de Copérnico, ni en el heliocentrismo que expuso Galileo, ni en las genialidades de Tycho-Brahe y, ni siquiera en Kepler o en Newton. La realidad es que todo empezó a cambiar cuando el sentido de la vista fue ampliado por la invención del telescopio que permitió un número suficiente de acercamientos que mostraban que todo lo anterior había que revisarlo. Por supuesto, aquellos instrumentos eran paupérrimos y comparados con los que hoy manejamos los amateurs -prescindo de los profesionales porque esa es otra historia- hubiesen dejado mudos de asombro a todos aquellos matemáticos y filósofos. Tengo la más completa convicción de que si Ptolomeo hubiese dispuesto de un instrumento medio de los que hoy cualquiera puede adquirir en un establecimiento especializado, no estaríamos discutiendo aquí de nada acerca de epiciclos y deferentes. Sencillamente, toda su concepción hubiese sido completamente distinta y a él si lo disculpo, pues de lo único que pudo disponer fue de sus ojos, de los cuales tampoco sabemos en qué estado físico estaban, ¿pero hoy en día con los medios que hay? ¡por favor!

Distancias orbitales (j2000.0)

Mercurio: excentricidad de 0'2563

Venus: excentricidad 0'00677

Tierra: excentricidad 0'01671

Marte: excentricidad 0'09341

Júpiter: excentricidad 0'04839

Saturno: excentricidad 0'05415

Urano : excentricidad 0'044727

Neptuno: excentricidad 0'00859

Considerando que el Sol: excentricidad 1.

Por supuesto, las elipses orbitales no son muy exageradas o marcadas como las de los cometas, pero no hay órbitas circulares. Si nos atenemos a la órbita de la propia Luna también podemos observar que entre la distancia máxima o apogeo (406.576 km del pasado 28 de julio a las 4 h) ) y la mínima o perigeo (356.896 km el pasado 10 de agosto a las 18 h de t.u.) hubo una diferencia de 49.680 km. Es decir, claramente elíptica.

FUENTE: datos del Anuario del Real Observatorio de Madrid 2014 Instituto Geográfico Nacional. MINISTERIO DE FOMENTO.

Que es una de las fuentes que manejamos amateurs y profesionales para las observaciones cada año.

**Martin Ant** · 11/10/2014

No sé si lo dije ya en otro hilo, pero desgraciadamente tengo aparcado desde hace algunos años mi telescopio. Es una pena. No he podido ir comprando, como hacía antaño, el Anuario del Observatorio Astronómico de Madrid.

De todas formas creo que aparecerá igual en el de 2014 lo que voy a decir a continuación. Si se fija usted en la página inmediatamente anterior a la tabla en donde aparecen los datos de las excentricidades de las órbitas planetarias encontrará la siguiente advertencia:

Elementos orbitales

En la página siguiente figuran los elementos orbitales de los planetas para la época J2000.0, que corresponde al día juliano (...). Algunos valores, como el del semieje mayor y de la excentricidad de la órbita sufren variaciones debido a las perturbaciones planetarias, siendo especialmente importantes para los planetas exteriores a Júpiter.

Fuente: Anuario del Observatorio Astronómico. 2004. Ministerio de Fomento. Página 162

Tal es así que, por ejemplo, para 2004 los datos de la excentricidad eran los siguientes:

Mercurio: 0,20563 (aquí creo que se ha equivocado usted al poner la excentricidad de Mercurio para 2014 como: 0,2563. Se ha comido un cero entre el 2 y el 5).

Venus: 0,00677

Tierra: 0,01671

Marte: 0,09340

Júpiter: 0,04849

Saturno: 0,05551

Urano: 0,04630

Neptuno: 0,00899

Plutón: 0,24905

Se puede observar, efectivamente, como dice la advertencia, que las excentricidades de las órbitas sufren variaciones, sobre todo más acusadas a partir de Marte y Júpiter.

Lo que trata de decir el Anuario es que todos esos valores del semieje mayor y la excentricidad han de tomarse como valores aproximados, es decir, valores medios que constituyen un patrón o trayectoria regular elíptico medio. Pero eso no quiere decir que el cálculo teórico de la órbita del cuerpo celeste se ajuste exactamente a un patrón regular elíptico, es decir, que su trayectoria no constituye (como dije antes) meras o simples elipses.

Entiéndase lo que quiero decir. En las páginas siguientes del Anuario puede usted observar la posición exacta en la bóveda celeste (estableciendo la ascensión recta y la declinación) que van a tener en la latitud de Madrid los planetas a las 0^h de UT (esto es, la medianoche conforme al meridiano de Greenwich). Estos datos son para tres días de cada mes del año. Pues bien estos datos predictivos no se corresponden con los cálculos realizados conforme a una trayectoria elíptica simple. Es decir, si se trazaran las efemérides de los cuerpos celestes en la bóveda siguiendo el cálculo teórico de una simple elipse, habría una discordancia entre la posición (ascensión recta y declinación) teórica calculada y la que se comprobara empíricamente en la práctica en esa latitud, en ese día y a esa hora.

Es por ello que, para dar cuenta de esas irregularidades que se salen del patrón puramente elíptico, es necesaria la computación de la posición exacta añadiendo unos ajustes y correciones que, hoy en día, se realizan mediante, entre otras, una herramienta utilitaria matemática que se llama análisis de Fourier (que viene a ser el equivalente de lo que antaño fueron las herramientas utilitarias del epiciclo y la deferente para dar cuenta de las irregularidades existentes en un patrón regular puramente circular). El nombre que se utilice para denominar a ese ajuste o corrección es lo de menos; lo que simplemente quería subrayar era la naturaleza o esencia equivalente de ambos conceptos en tanto en cuanto instrumentos puramente utilitarios para dar cuenta de la posición exacta de los cuerpos celestes en la bóveda.

Hoy en día, los software de programas para el siguimiento estelar llevan incorporados esos ajustes y correcciones de que he hablado para gran utilidad de los observadores amateurs y profesionales. Por ejemplo, uno de los más usados es el programa KStars. En una página de información sobre el mismo se señala lo siguiente:

¿Qué precisión tiene KStars?

KStars es bastante preciso, pero (aún) no es todo lo que podría ser. El problema de los cálculos de gran precisión es que hay que tratar con muchos factores muy complicados. Si usted no es un astrónomo profesional, es probable que nunca tenga problemas con esta precisión.

Esta es una lista de algunos de los factores más complicados que limitan la precisión del programa:

Las posiciones de los planetas solo son precisas en fechas que no difieran más de 4.000 años de la época actual. Las posiciones de los planetas se calculan utilizando un análisis de tipo Fourier de sus órbitas, en función de lo que se ha observado en los siglos pasados. En el colegio aprendimos que los planetas siguen órbitas elípticas sencillas alrededor del Sol, pero esto no es del todo cierto. Lo sería si solo hubiese un planeta en el Sistema Solar, y si el Sol y el planeta fueran objetos puntuales. En la realidad, los planetas están constantemente atrayéndose unos a otros, perturbando ligeramente sus órbitas; además, los efectos de marea introducen bamboleos precesionales. De hecho, análisis recientes sugieren que las órbitas de los planetas podrían incluso no ser estables a largo plazo (millones de años). Como regla general, se puede esperar que la posición de un planeta tenga una desviación de unos pocos segundos de arco entre los años -2000 y 6000.

Plutón resulta ser una excepción; su posición es quizá diez veces menos precisa que la de los otros planetas. Aun así, en fechas cercanas a la época actual, se puede asumir que su precisión está alrededor de un segundo de arco.

La posición de la Luna es probablemente la más difícil de predecir con gran precisión. Esto se debe a que su movimiento está bastante perturbado por la Tierra. Además, al estar tan cerca, incluso efectos mínimos que serían indetectables en cuerpos más distantes, son perfectamente notables en la Luna.

Los objetos con peor precisión en el programa son los cometas y los asteroides. Utilizamos un modelo orbital muy sencillo que no incluye la perturbación por parte de terceros. Por lo tanto, solo es posible configurar en sus posiciones en fechas muy cercanas a la época actual. Incluso para fechas actuales, se puede esperar una desviación en los cuerpos pequeños del orden de 10 segundos de arco o más.

Fuente: KStars. Preguntas y Respuestas.

Por último, recordar que la elipse no es más que un patrón que constituye un caso particular de una combinación de epiciclo y deferente; es decir, no existe diferencia, en principio, en el resultado de cálculo obtenido utilizando uno u otro mecanismo matemático. Dígase lo mismo en lo que se refiere a la segunda Ley de Kepler, en donde la herramienta ptolemaica de la órbita excéntrica daba cuenta también de las irregularidades en la velocidad orbital de los cuerpos celestes. Y, por supuesto, siguiendo en esta misma línea de equivalencia, la elipse (en tanto que figura puramente geométrica) también puede ser utilizada en cualquier otro modelo que presente un sistema de referencia distinto (como hiciera Giovanni Riccioli en su Novum Almagestum, por poner un ejemplo cualquiera).

**Valmadian** · 12/10/2014

Veamos, si nos dedicamos a reproducir datos del modo más amplio posible es para dar una simple orientación, Sr Martín Ant, ya sé lo que se dice en el Anuario del Real Observatorio 2014, pues de sus páginas en mis manos he sacado directamente los datos que mencionaba en al anterior mensaje, y no la totalidad de ellos, al igual que la aclaración que usted menciona, la cual viene en la parte inferior de la página 180, al igual de como utilizar los años julianos, le ruego que no me enseñe Astronomía. Del mismo modo también hubiese podido reproducir las distancias en u.a. y hasta las 452 páginas del Anuario de este año en curso.

Aquí la cuestión es que usted pertinazmente insiste una y otra vez en abrir hilos y más hilos con el mismo tema, lo que no sólo resulta ya cansado y aburrido, sino que además contribuye a una mayor confusión de todo lo tratado pues no hay orden secuencial entre ellos, aquí se dice una cosa y allá, en otro u otros, se hacen otras afirmaciones, todo lo cual contribuye a que sea literalmente imposible elaborar una línea general de discusión. Eso es lo que le conviene a usted, pues así puede estar negando la mayor todas las veces que quiera. Usted puede afirmar lo que le venga en gana, pero eso no significa que sea cierto. Usted elabora continuamente un mensaje ideológico con el que busca más que desmentir a ese ateísmo ( aunque es más apropiado llamarlo "filosofía modernista"), lo que busca es descalificar a los católicos que no seguimos con el error geocentrista que se propugnó como si fuera parte del Dogma de la Iglesia -lo que es falso de raíz- y que usted y otros se empeñan en seguir manteniendo. Y le añadiré que tales acusaciones son indignantes porque no por ello ustedes son más católicos ni mejores creyentes, de eso váyase usted olvidando ya. Pero esa falacia de extensión en la que hay quienes dividen maniqueamentre a la Iglesia, o sea a 1.200 millones de seres humanos, en buenos o malos católicos según apoyen o no semejantes hipótesis paganas, y que en el pasado estaban defendidas por grupos de frailunos que no eran la totalidad de la Iglesia, son los causantes de que exista una leyenda negra que convierte a ésta en una especie de reunión de trogloditas anti-científicos, cuando ha sido siempre justamente todo lo contrario. Y para ello se pueden leer algunos comentarios en las páginas del enlace puesto más abajo que, sin ser irrespetuosos, si incurren en la misma falacia extendida gracias a aquellos ignorantes frailunos.

El problema no está en lo que dice, aunque yo discrepe de una parte de sus afirmaciones, sino en la intención con la que lo dice, eso es lo inadmisible. ¿Quiere usted atacar al ateísmo que representan los elementos citados? haga como yo, abra hilos sobre la NADA y el AZAR, o sobre los absurdos de los planteamientos de esa gente sobre los orígenes, pero deje en paz ya de una vez a Galileo y a quienes siendo católicos no estamos anclados en el cerrilismo. Y si no, sea usted coherente, cierre su ordenador, tírelo a la basura y despréndase de todo elemento científico-técnico posterior al Siglo XVII.

Lo que no se puede es continuar así cada equis tiempo, así que aclaremos el tema de una vez y se lo repito, ¡déjese de filosofías! Por cierto, a ver si va asumiendo que ELLIS hace uso de la filosofía como base explicativa junto con la Matemática cuando se trata de hablar de teorías imposibles cosmológicas al objeto de rebatir esas fantasías que surgen de algunas mentes que siempre "huyen" de la realidad de la existencia de Dios, pero deja ese tratamiento en el cajón en cuanto habla de Física. Aún no hace ni 48 horas estuve siguiendo un programa en el Discovery Channel presentado por el actor americano Morgan Freeman en el que unos cosmólogos hablaban de branas como explicación de su hipótesis acerca del origen del Universo prescindiendo de Dios. Ese es el "modernismo", no el conocimiento científico y su aplicación tecnológica en sí mismas, sino si con ellos se alaba a Dios y se le sirve, siendo esa la Ciencia del Bien o, por el contrario, se le ignora y se le sustituye por ideas absurdas que ensalzan al hombre como dueño de si mismo, es decir, la Ciencia del Mal. Así resulta que las explicaciones que daban consistían en llenar pizarras con "matemáticas nuevas" para intentar encontrar explicaciones a aquello que no está al alcance de nuestros sentidos (una física totalmente distinta desde el Tiempo de Planck) ni con ayuda de los más potentes instrumentos. Y ya las explicaciones sobre las branas eran de traca. No sorprende pues que una vez expuesta su hipótesis en Helsinki, admitiesen que su auditorio la recibiese con una total frialdad e indiferencia... Habría que añadir que deberían haber dicho algo así como: "pero fue bonita mientras duró ¿verdad?"

Recomiendo ir directamente al enlace del texto de abajo, más que nada para poder visualizar todas las figuras explicativas de los conceptos que se manejan. Y en ellos no hay filosofías, sino Física.

Cómo se mueven los planetas

A la pregunta de cómo se mueven los planetas, se puede contestar abreviadamente: de acuerdo con la ley gravitatoria. Las únicas fuerzas aplicadas a los planetas son las gravitatorias.

Como la masa de los planetas es mucho menor que la del Sol, las fuerzas de interacción de los planetas no desempeñan un gran papel. El movimiento de cada uno de los planetas está casi totalmente dictado por la fuerza de atracción del Sol, como si los demás planetas no existiesen.

Las leyes del movimiento de los planetas alrededor del Sol se deducen de la ley de gravitación universal. Históricamente, esto no ocurrió así. Las leyes del movimiento de los planetas fueron descubiertas por el célebre astrónomo alemán Juan Kepler antes de Newton, sin emplear la ley de gravitación, basándose en el estudio de las observaciones astronómicas realizadas durante casi veinte años.

Las trayectorias, o como suelen decir los astrónomos, las órbitas, que describen los planetas alrededor del Sol, son muy parecidas a una circunferencia.

¿Cómo está relacionado el período de rotación de un planeta con el radio de su órbita?

Pero según la ley principal de la mecánica, F/m es la aceleración y, además, la centrípeta:

F/m = v2/r

La velocidad del planeta se puede expresar como la longitud de la circunferencia 2πr, dividida por el período de rotación T.
Poniendo v = 2πr / T y el valor de la fuerza F en la fórmula de la aceleración, obtenemos:

El coeficiente de proporcionalidad ante r3 es una cantidad que depende sólo de la masa del Sol, y es igual para cualquier planeta. Por consiguiente, para dos planetas, se verifica la relación

T12/T22 = r13/r23

La razón de los cuadrados de los tiempos de rotación de los planetas es igual a la razón de los cubos de los radios de sus órbitas. Kepler dedujo esta interesante ley del experimento. La ley de gravitación universal explicaba esta observación de Kepler:

El movimiento circular de un cuerpo celeste alrededor de otro, es solamente una de las posibilidades.

Las trayectorias de un cuerpo que gira alrededor de otro a causa de las fuerzas gravitatorias pueden ser muy diversas. Sin embargo, como muestra el cálculo y como había sido observado por Kepler sin ningún cálculo, todas éstas pertenecen a una clase de curvas llamadas elipses.

Si atamos un hilo a dos alfileres, hincados en un papel de dibujo, y se estira del hilo con la punta de un lapicero, moviéndolo de modo que el hilo se mantenga en tensión, en el papel se marcará una curva: ésta es la elipse

Las elipses pueden tener diversas formas. Si tomamos un hilo mucho más largo que la distancia entre los alfileres, resultará una elipse muy parecida a un círculo.
Por el contrario, si la longitud del hilo es solamente un poco mayor que la distancia entre los alfileres entonces se obtiene una elipse alargada, parecida a un palito.

Los planetas describen elipses, en uno de cuyos focos está el Sol.

¿Qué elipses describen los planetas? Resulta que éstas son muy parecidas a circunferencias.

La trayectoria más distinta de la circunferencia es la del planeta más próximo al Sol: la de Mercurio. Pero, en este caso, el diámetro más largo de la elipse es solamente el 2% mayor que el más corto. Otra cosa ocurre con los satélites artificiales.

Sin embargo, como el Sol está en uno de los focos de la elipse y no en su centro, la variación de la distancia del planeta al Sol es más notable. Tracemos una línea por los dos focos de la elipse. Esta línea se cortará con la elipse en dos lugares.

El punto más próximo al Sol se llama perihelio, el más alejado del Sol, afelio.

Mercurio está en el perihelio 1,5 veces más próximo del Sol que el afelio.

Los planetas principales describen elipses alrededor del Sol muy parecidas a circunferencias. Sin embargo, existen cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol por elipses muy alargadas. Entre estos se encuentran los cometas. Sus órbitas, refiriéndose a su alargamiento, no se pueden comparar con las de los planetas. se puede decir que los cuerpos celestes que se muevan por elipses pertenecen a la familia del Sol. Sin embargo, a veces, en nuestro sistema penetran forasteros casuales.

Se han observado cometas que describen unas curvas alrededor del Sol, que juzgando por su forma, se puede hacer la conclusión de que ellos jamás volverán, pues no pertenecen a la familia del sistema solar. Las curvas «abiertas» que describen los cometas se llaman hipérbolas.

Sobre todo, se mueven con mucha rapidez los cometas que pasan cerca del Sol. Esto es comprensible: la energía total del cometa es constante y, al acercarse al Sol, aquél tiene la energía potencial mínima. Esto quiere decir que, en este caso, la energía cinética del movimiento es máxima. Claro que esto tiene lugar para todos los planetas y para la Tierra inclusive. Pero este efecto no es muy grade, ya que la diferencia de las energías potenciales en el afelio y en el perihelio es pequeña.

De la ley de conservación del momento del impulso se deduce una ley interesante del movimiento de los planetas.

En la fig. 6.7 están representadas dos posiciones de un planeta. Desde el Sol, o sea, desde el foco de la elipse, se han trazado dos radios hasta las posiciones del planeta, y el sector formado, se ha rayado. Hay que determinar la magnitud del área que describe el radio en una unidad de tiempo. Si el ángulo es pequeño, el sector descrito por el radio en un segundo se puede sustituir por un triángulo. La base del triángulo es igual a la velocidad v (el espacio recorrido en un segundo) y la altura igual al brazo d de la velocidad. Por eso, el área del triángulo es igual a vd/2.

De la ley de conservación del momento se deduce que la magnitud mvd permanece constante durante el movimiento. Pero, si mvd es constante, tampoco varía el área vd/2 del triángulo. Podemos dibujar sectores para cualquier momento; éstos resultarán de igual área. La velocidad del planeta varía, pero, lo que se puede llamar velocidad sectorial, se mantiene constante.

No todas las estrellas tienen un cerco planetario. En el cielo hay bastantes estrellas dobles. Dos cuerpos celestes inmensos giran uno alrededor de otro.
La gran masa del Sol le convierte en el centro de la familia. En las estrellas dobles, los dos cuerpos celestes tienen masas parecidas. En este caso, no se puede suponer que una de las dos estrellas está en reposo.

¿Cómo ocurre entonces el movimiento? Ya sabemos que cada sistema cerrado tiene un punto en reposo (o que se mueve uniformemente); éste es el centro de inercia. Las dos estrellas se mueven alrededor de este punto. Estas describen elipses semejantes, como se deduce de la condición m1/m2 = r2/r1 escrita anteriormente. La elipse de una estrella es tantas veces mayor que la elipse de la otra, cuantas veces la masa de la segunda es mayor que la masa de la primera (fig. 6.8). Si las masas son iguales, éstas describirán trayectorias iguales alrededor del centro de inercia.

Los planetas del sistema solar se encuentran en condiciones ideales, pues no sufren rozamiento alguno.

Los pequeños cuerpos celestes artificiales creados por el hombre, los satélites, no están en tal situación ideal, ya que las fuerzas de rozamiento, aunque insignificantes al principio, son, de todos los modos, sensibles e intervienen resueltamente en el movimiento.

La energía total del planeta se mantiene inalterable. Con cada vuelta, disminuye un poquito la energía total del satélite. A primera vista, parece que el rozamiento tiene que retardar el movimiento del satélite. En realidad ocurre lo contrario.

Recordemos, ante todo, que la velocidad del satélite es igual a √(gR), o a √(γM/R) donde R es la distancia hasta el centro de la Tierra y M, su masa. La energía total del satélite es igual a:

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Poniendo el valor de la velocidad del satélite, para la energía cinética, hallamos la expresión γMm/R. Vemos, pues, que el valor absoluto de la energía cinética es dos veces menor que la potencial, y la energía total es igual a

f06-25.gif

Habiendo rozamiento, la energía total disminuye (puesto que es negativa), es decir, crece en valor absoluto; la distancia R comienza a disminuir: el satélite desciende. ¿Qué ocurre, en este caso, con el sumando de la energía? La energía potencial decrece (crece, en valor absoluto); la energía cinética aumenta.

De todos modos, el balance total es negativo, puesto que la energía potencial decrece dos veces más rápidamente que crece la energía cinética.
El rozamiento conduce al aumento de la velocidad del movimiento del satélite y no a su disminución.

Ahora se comprende por qué el cohete conductor adelanta al pequeño satélite. El cohete vacío grande tiene mayor rozamiento.

Fisica para Todos I - Cuerpos Fisicos - L D Landau y A I Kitaigorodski