Claro que si se suprime el no suena raro. Porque, aunque no resulte lógico, es la forma correcta de decirlo en castellano. Omitirlo es incorrecto. Claro que hay idiomas que utilizan más la doble negación, como el francés y el italiano.

No existe ningún idioma perfecto, pero si a eso vamos, el inglés tiene muchas más incoherencias y mucha menos lógica que las lenguas romances. Además, la doble negación nos permite matizar más que el inglés (en general, el español tiene más capacidad de matización que el inglés, salvo alguna excepción). En castellano podemos distinguir entre "esta palabra no significada nada" (es decir, carece de sentido) y "esta palabra significa nada" (quiere decir "nada"; por ejemplo, palabras como nothing, rien, res, niente, nichts, etc., traducidas al castellano). Pero en inglés no les queda otra que decir en ambos casos "this word means nothing", y habrá que deducir el sentido según el contexto, que puede que no esté muy claro.

Por supuesto, expresiones como "nada me dijo", "nada sabe", etc. son perfectamente lícitas. Y si no son tan habituales (aunque tampoco son raras) es porque (una vez más, podemos matizar más en español) suelen tener un sentido más enfático que decir simplemente "no me dijo nada" o "no sabe nada".